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足球运动中弧线球的研究

  

足球运动中弧线球的研究

  足球运动中弧线 引言 足球在世界上拥有数百万的参与者,是世界上目前最受欢迎的运动。由于它 受到了如此之广泛的关注, 如今已经有很多人对其中所包含的技术进行研究。在 1998 年的世界杯的 171 个入球中有 42 个是由定位球产生,其中的百分之五十是 由直接任意球产生, 由此可见一脚精准的任意球在足球运动中的作用。贝克汉姆 擅长香蕉球,而克里斯蒂亚诺.罗纳尔多则擅长平快的门前急坠球或者是落地反 弹球,这些都让我们忍不住去研究足球世界中弧线 伯努利原理 伯努利原理:瑞士数学家 Daniel Bernoulli 提出了现在被广为熟知的定理。 p? 1 ? V2 ? C 2 (1) P 为气流中某一点的压力, ? 为气流密度,V 是气流中某一点的速度。 §2.2Magnus 效应 图-1 由伯努利原理可知, 一个轨迹弯曲的球必须是旋转的,使球的轨迹弯曲的侧 向力是由于球的旋转产生的。旋转时产生不对称的气流,产生升力或侧向力,垂 直于转轴方向。由图-1 可知,一颗旋转的球会因为其转轴的不同,产生向上或者 侧向的偏转。 §3 模型 §3.1 受力情况 Wesson[1] 他的研究中指出在 空中的球体受到了三个力,如图-2 所示,分别是重力,空气阻力,以 及由于球体旋转所产生的 Magnus 力。在图-2 的情况下,Magnus 力 正好与重力方向相反,是一股上升 力。 Kreighbaum 与 Barthels [2] 指出, 运动物体的空气学力由物体本身的表面特性 以及它暴露在空气中的面积、空气流速、压强的多方面决定的。他们给出了任何 运动物体在空气受力的公式: 1 v D ? ? Cd ? A v2 2 v 1 2 ??v Fmag ? Cm a ? A v g 2 ? ? v 数,A 是球体在空气中的投影面积,v 是相对流速。 (2) (3) D 为空气阻力, Fmag 为受到的 Magnus 力, Cd 为阻力系数, Cmag 为 Magnus 力系 §3.2 球体系统的阻力系数与 Magnus 力系数 阻力系数与气流的密度,速度,球体投影面受到的阻力大小有关。但是对于 同一物体而言,阻力系数的差异是和雷诺数直接相关的。 Carre [3] 等研究发现,雷诺系数的大小与物体表面的光滑程度、物体的速度 有关,因此速度越快的球体出现紊流阻力小的可能性更大。 从 Anderson [ 4 ] 所给出的球体的阻力系数与雷诺数的关系图可以看出, Cd 随 着 Re 的增加而下降,在临界点时,Cd 会突然下降很多。发生这样的现象是因为 在临界条件时,气流将突然转变为紊流,出现气流流线分离的现象,阻力瞬间大 幅度减小。 图-3 球体的阻力系数与球体雷诺数之间的关系图 与阻力系数一样,球体系统的 Magnus 力系数也与气流密度,速度,物体的 投影面积等有关。不旋转的球理论上的 Magnus 力系数为零,所以我们只讨论球 的旋转对 Magnus 力系数的影响。 对于一个旋转的球,我们不管它的旋转方向,它产生了 Magnus 力从而改变 了球的运动轨迹产生了弧线 球在空中飞行时的加速度方程 对于图-2 中的球体,我们在考虑重力,Magnus 力以及空气阻力的情况下, 运动的向量方程为: a? Fm ag m ? D ?g m (4) 带入 Fm ag 和 D 得到: a? 1 2 C mag ? A v 2 m ? ?v ? ?v ? 1 2 C d ? A v 2 m v v ?g (5) 其中 a 为球体运动的加速度, m 为球体质量,g 为重力加速度。 已经给出了球体在空中飞行的加速度的方程,对于一个已经确定的球体来 说,由于环境中的 ? 的不确定性,以及两个参数 Cmag 、 Cd 的不确定性我们无法 给出式一个更简易的方程。 在现有的条件下笔者无法给出关于这个方程的更多的 解释及描述。日后有更好的条件时,希望可以运用计算机模拟这个方程,给出更 多的图像解释。 虽然无法运用模型直观的描绘弧线球的运动, 但是我们可以运用这个模型解 释足球运动中的弧线球以及和弧线 模型在特定现象上的运用 按照国际标准我们取足球的参数如下 直径 69cm §4.1 电梯球 巴西球员迪迪发明了电梯球(又称落叶球) ,而在当今足坛落叶球的代表有 皮尔洛,克里斯蒂亚诺罗纳尔多等。本文将以 c 罗的电梯球为例,研究电梯球的 轨迹以及球在坠入球门前的急坠的原因。 我借助实况足球这款游戏里的任意球模式,帮助我们直观模型的建立。 质量 430g 球门规格 7.32 米× 2.44 米 禁区线kg/立方米 Cd ? 0.26 图-4 电脑模拟 c 罗任意球情形 按照 c 罗的任意球风格,我们选取了他最为擅长的 23m 的距离来研究他的 任意球轨迹。这种方式的落叶球几乎没有侧旋,有一定量的外旋。没有侧旋就意 味着球不会有侧向的弧线, 我们把他的整个球的飞行轨迹简化成一个平面上的运 动。 图-5 理想的电梯球飞行轨迹图 在(2)式中,空气阻力系数 Cd 与 Re 直接相关。在 Anderson 的研究中,足 球的 Re 约为 2.5 ?10 ,在图-3 中对应发现 5 。所以式(2)简化为: D ? ?0.13? A v 2 Cmag ? v v (6) 2? R v 在(3)式中,根据文献[6]系数 化简为: ,R 为球体的半径,所以(3)式 Fmag ? ?R v ? A v 2 ??v ??v (7) 我们只研究二维的运动,将速度进行 x、y 两个方向的分解,而只考虑 z 轴的角 速度: v ? vx 2 ? v y 2 , ? ? ?z (8) 各项资料显示,速度极高任意球的球速会高达 120km/h ,个别甚至会达到 200km/h。我们假定 c 罗的球速为 100km/h,即平均速度为 27m/s。介于 c 罗任意 球的特性,我们假设它是不旋转的,即 ? ? 0 。 我们把(5)式化为最简单的形式: 在这样的设定下, ? A v 2 a ? ?0.13 带入 ? 、 A 、m 得到 v v m ?g ? ? 1.25kg / m3 (9) a ? ?0.05 v v ? g 对于 x、y 两个方向求解 (10) dvx ? 0.05vx vx 2 ? v y 2 dt dv y dt ? 0.05v y vx 2 ? v y 2 ? g (11) (12) 这个方程无法求得解析解,我采用计算机作图的方式。假设球的初始速度为 30m/s,由于出脚角度无法确定,所以电脑模拟在这样的方程下不同的出脚角度 可能出现的轨迹情况,如下图 不同角度下球体轨迹 图-6 电脑模拟图 我们从十个轨迹中找出最符合实际情况的弧线图 不同角度下vx ? vy关系 图-7 模拟轨迹图 上图是模拟在出球角度为 30 度时的轨迹,从图中可以看出球近似在 23m 处 落到最低点, 正好可以落入球门而且可以成功地绕过人墙。轨迹近似符合实际情 况,可以认为给出的式(11) 、 (12)在一定程度上是有参考性的。 然而在这个讨论中并没有运用到 Magnus 力, 这是三个力中被忽略看待的力。 由于电梯球的特性,由于旋转很小所以 Magnus 力很小,对轨迹的讨论没有太多 影响。 §5 结论 本文对足球运动中的弧线球建立模型进行了分析与计算,重点研究了弧线 球中比较简单的电梯球(落叶球)的情形。由于这种特殊情形,在研究的过程中 简化掉了 Magnus 力,又粗略地计算了足球的阻力系数,估算出了电梯球方程, 在最模型的拟合下完善系数,得到了近似于实际情况的轨迹方程。 然而,弧线球的种类有很多。例如贝氏弧线,带有强烈的侧旋,这种情况 比电梯球复杂得多。现有的模型实际的出入还是比较大,需要进一步的研究。

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